Unified Analytic Solution of Projective Geometric Problems in Projective Differential Algebraic Closure

本文建立了一个严格的射影微分代数框架，用于解决任意维度射影空间中的几何问题。我们构造了射影微分代数闭包K P，它通过结合射影坐标变换、齐次多项式结构和射影不变量来扩展微分代数的经典框架。在这个闭包中，我们证明了基本射影几何问题的解——包括交集问题、协变微分和射影微分方程的分辨率——可以通过显式解析公式来表达。统一解公式的形式为： [X0 ： X1 ： • • • ： Xn] = M −1 m=0 σm （Ψm（C）） 1/n ω mk n φm（X） ， 0 ≤ k ≤ n − 1，其中φm（X）是齐次基函数，C表示射影约束或初始条件，Ψm∈K P是具有组合的显式射影微分多项式 从多元Faa di Bruno公式的射影模拟得出的校正项，ωn = e 2πi/n是单位的主n次方根，σm ∈ {+1， −1}是由射影一致性条件决定的符号因子。我们提供了完整的建设性证明，推导了射影校正系数γ （n） m 的组合表达式，并提出了详细的 O（n 2） 算法用于实际计算。这项工作表明，虽然经典几何结构受到次数约束的限制，但显式射影解存在于适当扩展的射影微分代数闭包 K P 中，为几何可解性提供了一种新的代数视角，补充了现有的计算几何方法。