Unified Analytic Parameterization of Algebraic Curves in Differential Algebraic Closure

本文为代数曲线的显式解析参数化建立了全面的微分代数框架。我们构建了一个严格定义的几何微分代数闭包 KGeo，并证明代数曲线的局部解析参数化可以在该闭包内表达。n 次代数曲线的统一参数化公式为： x k （t） = x （n−1） + n−1 m=1 Φm（y） 1/n ω m（k−1） n bm（t）， 0 ≤ k ≤ n − 1，其中 x （n−1） 是正确定义的临界点，y = （y （0） ,. .. , y （n−2）） 是几何临界值，Φm ∈ Q（a）[y] 是显式几何微分多项式，具有从多元 Faà di Bruno 公式导出的组合校正， ωn = e 2πi/n ，bm（t） 是适当选择的基函数。我们通过对校正系数γ （n） m进行详细的组合分析，提供了完整的建设性证明，提出了具有严格复杂度分析的综合O（n 2）算法，并通过对具有各种几何特征的经典曲线进行广泛的数值实验来验证该方法，包括具有高阶奇点的挑战性案例。这项工作表明，KGeo 中存在一类广泛的代数曲线的显式解析参数化，并在微分代数、代数几何和组合数学之间建立了基本联系。