A Unified Solution Formula for Polynomial Equations in Noncommutative Banach Algebras via Differential-Combinatorial Methods

本文建立了一个求解酉非交换巴纳赫代数中n次多项式方程P（x）=0的综合框架。我们构造了一个非交换的Banach微分代数闭包，它通过相邻P的临界值来扩展系数代数，所有单位根，并在通过全纯泛函微积分提取p次根和求解具有有序非交换系数的多项式方程下闭合。中心结果是一个显式解公式，表示 P （x） = 0 的所有根。该公式通过引入新的非交换组合校正项 Γ（n） m 将经典根式解推广到非交换设置，严格源自非交换 Fàa di Bruno 公式。我们提供了基本关系的完整证明、2 到 6 次的详细验证、具有复杂性分析的实用算法，并证明了与非交换 Abel-Ruffini 定理的一致性。该框架在弱交换性假设下被证明是稳健的，并且包括对第 n 次根运算的全态函数微积分的综合处理，包括频谱规避条件。新的贡献包括可扩展的组合计算方法、详细的数值实现策略和定量频谱管理分析。