Hilbert–Pólya via de Branges and the Weyl m-Function: Vertical Convolution and the Riemann Hypothesis
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The paper studies an analytic–spectral route to the Riemann Hypothesis by applying a Hilbert–Pólya framework using de Branges spaces and the Weyl–Titchmarsh m-function. It introduces a Gaussian spectral regularization of the Riemann zeta function around a variationally chosen center, encodes the functional symmetry via a completed entire companion, and uses a vertical convolution identity with uniform analytic estimates to ensure local uniform convergence back to the classical conclusion, with the explicit caveat that the zeros-fixing argument is performed at each fixed regularization scale before taking a limit. On the operator side, it constructs for each regularization scale explicit self-adjoint Schrödinger operators with exponential confinement whose Weyl–Titchmarsh data are calibrated to the completed arithmetic model, yielding equality of spectral measures and a Hermite–Biehler structure that forces zeros onto the critical line at each scale; the final step transfers the zero set in the limit. This paper does not explicitly discuss endometriosis or adenomyosis; it was included in the corpus via a keyword match in the upstream search index.
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Abstract
We present a deterministic analytic–spectral route to the Riemann Hypothesis. The argument begins with a Gaussian spectral regularization of the zeta function around a variationally selected center and encodes the functional symmetry at the level of a completed companion that is entire and exactly symmetric. A vertical convolution identity with a Gaussian kernel, together with uniform analytic estimates, produces locally uniform convergence from the regularized completion to the classical one. On the operator side, we construct, for each regularization scale, explicit self-adjoint Schrödinger operators with exponential confinement whose Weyl–Titchmarsh data are calibrated to the completed arithmetic model; equality of spectral measures follows. This calibration forces a Hermite–Biehler structure for the completed functions, which in turn places all zeros on the critical line at every fixed scale. Passing to the limit, the zero set is transferred and the Riemann Hypothesis is established. Conceptually, the work realizes the Hilbert–Pólya philosophy at each scale and, in the limit, furnishes a self-adjoint model at the level of Weyl data for the classical completion. Methodologically, the proof uses only standard tools from complex analysis, de Branges spaces, and Weyl–Titchmarsh theory, and it is organized so that each step is transparent and verifiable on its own. We also record stability results for zero counts on crossing rectangles and robustness under changes of smoothing and compact perturbations of the confining potential.
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Hilbert–Pólya via de Branges e a função m de Weyl: Convolução vertical e a Hipótese de Riemann | SciELO Preprints window.dataLayer = window.dataLayer || []; function gtag(){dataLayer.push(arguments);} gtag('js', new Date()); gtag('config', 'G-3TT8HYRH0Y'); Open Menu Registrar-se Acesso English Español Ir para o conteúdo principal Ir para o menu de navegação principal Ir para o rodapé Preprints Submissão Áreas do Conhecimento Ciências Agrárias Ciências Biológicas Ciências da Saúde Ciências Exatas e da Terra Ciências Humanas Ciências Sociais Aplicadas Engenharias Linguística, letras e artes Educação em Revista Memórias do Instituto Oswaldo Cruz 47º Encontro Anual da ANPOCS 48º Encontro Anual da ANPOCS 49º Encontro Anual da ANPOCS Sobre Sobre o Servidor Declaração de Privacidade Atualizações do Sistema Contato FAQ Ética no SciELO Preprints Avaliação de preprints Anotações em preprints (via Hypothesis) Avalie um preprint Notícias Início / Ciências Exatas e da Terra Preprint / Versão 1 Hilbert–Pólya via de Branges e a função m de Weyl: Convolução vertical e a Hipótese de Riemann article.authors6a130a65ce827 Edvaldo Araújo dos Reis Secretaria da Educação do Estado da Bahia image/svg+xml .st0{fill:#A6CE39;} .st1{fill:#FFFFFF;} https://orcid.org/0000-0003-3487-610X DOI: https://doi.org/10.1590/SciELOPreprints.13340 Palavras-chave: Hipótese de Riemann, Programa Hilbert-Pólya, Hermite–Biehler, Calibração de Weyl, Teoremas de Hurwitz e Rouché, Transformação de Liouville, Núcleo reprodutor, Correspondência espectral-aritmética Resumo Apresentamos uma rota analítico–espectral determinística para a Hipótese de Riemann. O argumento começa com uma regularização espectral Gaussiana da função zeta em torno de um centro selecionado variacionalmente e codifica a simetria funcional no nível de uma companheira completada que é inteira e exatamente simétrica. Uma identidade de convolução vertical com um núcleo Gaussiano, juntamente com estimativas analíticas uniformes, produz convergência localmente uniforme da conclusão regularizada para a clássica. Do lado dos operadores, construímos, para cada escala de regularização, operadores de Schrödinger autoadjuntos explícitos com confinamento exponencial cujos dados de Weyl–Titchmarsh são calibrados ao modelo aritmético completado; segue-se a igualdade de medidas espectrais. Essa calibração força uma estrutura de Hermite–Biehler para as funções completadas, o que, por sua vez, coloca todos os zeros na reta crítica em cada escala fixa. Passando ao limite, transfere-se o conjunto de zeros e estabelece-se a Hipótese de Riemann. Conceitualmente, o trabalho realiza a filosofia de Hilbert–Pólya em cada escala e, no limite, fornece um modelo autoadjunto no nível dos dados de Weyl para a conclusão clássica. Metodologicamente, a prova usa apenas ferramentas padrão de análise complexa, espaços de de Branges e teoria de Weyl–Titchmarsh, e está organizada de modo que cada passo seja transparente e verificável por si só. Também registramos resultados de estabilidade para contagens de zeros em retângulos de cruzamento e robustez sob mudanças de suavização e perturbações compactas do potencial confinante. Downloads Os dados de download ainda não estão disponíveis. Biografia do Autor Edvaldo Araújo dos Reis, Secretaria da Educação do Estado da Bahia Licenciado em Matemática plena pela Universidade Federal de Sergipe - 2009; Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Sergipe (UFS) - 2013. è pesquisador da hipótese de Riemann, e dos problemas do milênio. Foi professor de Cálculo I, II e III, Equações Diferenciais Ordinárias, Cálculo Numérico, Geometria Descritiva (Faculdade Dom Luiz de Orleans e Bragança). PDF (Inglês) Postado 21/10/2025 Como Citar Hilbert–Pólya via de Branges e a função m de Weyl: Convolução vertical e a Hipótese de Riemann. (2025). Em SciELO Preprints . https://doi.org/10.1590/SciELOPreprints.13340 Formatos de Citação ACM ACS APA ABNT Chicago Harvard IEEE MLA Turabian Vancouver Baixar Citação Endnote/Zotero/Mendeley (RIS) BibTeX Série Ciências Exatas e da Terra Copyright (c) 2025 Edvaldo Araújo dos Reis Este trabalho está licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution 4.0 International License . .citations-container { overflow-y: auto; overflow-x: hidden; max-height: 1000px; } Avaliações Nenhuma avaliação disponível Plaudit Declaração de dados Os dados de pesquisa estão contidos no próprio manuscrito Aviso de preprints Preprints são manuscritos não avaliados por um periódico científico ou já avaliados mas em processo de publicação. .block_announcements_article:not(:last-child) { padding-bottom: 1.5em; border-bottom: 1px solid; } .block_announcements_article { text-align: left; } .block_announcements #show-all{ font-style: italic; } Notícias SciELO Preprints adota obrigatoriedade de declaração de disponibilização de dados de pesquisa 19 agosto 2025 A partir de 1º de setembro de 2025 os manuscritos submetidos ao SciELO Preprints devem incluir uma declaração de disponibilidade de dados informando sobre onde e como os dados da pesquisa que deram origem ao artigo podem ser acessados. 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SciELO - Scientific Electronic Library Online Rua Dr. Diogo de Faria, 1087 – 9º andar – Vila Clementino 04037-003 São Paulo/SP - Brasil E-mail: [email protected] app = {"hypothesisHandlerUrl":"https:\/\/preprints.scielo.org\/index.php\/scielo\/$$$call$$$\/plugins\/generic\/hypothesis\/controllers\/hypothesis\/"}; var pkpUsageStats = pkpUsageStats || {};pkpUsageStats.data = pkpUsageStats.data || {};pkpUsageStats.data.Submission = pkpUsageStats.data.Submission || {};pkpUsageStats.data.Submission[13340] = {"data":{"2025":{"10":"71","11":"51","12":"132"},"2026":{"1":"104","2":"38","3":"65","4":"36","5":"348"}},"label":"Todos os downloads","color":"79,181,217","total":845}; var pkpUsageStats = pkpUsageStats || {};pkpUsageStats.locale = pkpUsageStats.locale || {};pkpUsageStats.locale.months = ["Jan","Fev","Mar","Abr","Mai","Jun","Jul","Ago","Set","Out","Nov","Dez"];pkpUsageStats.config = pkpUsageStats.config || {};pkpUsageStats.config.chartType = "bar"; (function (w, d, s, l, i) { w[l] = w[l] || []; var f = d.getElementsByTagName(s)[0], j = d.createElement(s), dl = l != 'dataLayer' ? 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